Linguaggio e metodi della matematica

Roberto Bruni      Tel. 0502212785

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Introdurre il linguaggio e le tecniche di dimostrazione della matematica, sviluppando come esempio alcuni temi fondamentali dell'aritmetica e della combinatorica.

Conoscenze. Alla fine del corso gli studenti avranno acquisito le basi necessarie a formalizzare linguaggi e modelli della matematica. In particolare avranno acquisito dimestichezza con concetti della matematica discreta, quali insiemi, funzioni, relazioni, congruenze, elementi di logica e tecniche di dimostrazione, induzione, elementi di calcolo combinatorio.

Capacità. Alla fine del corso gli studenti avranno acquisito la capacità di leggere, comprendere e costruire argomentazioni matematiche, distinguere argomenti matematici validi da quelli non validi, applicare i concetti teorici per la risoluzione di problemi di stampo informatico.

Comportamenti. Alla fine del corso gli studenti avranno acquisito la capacità di ragionare in maniera autonoma e analizzare in modo critico semplici sistemi formalizzabili in maniera discreta. Saranno inoltre in grado di riconoscere specifiche inconsistenti.

• Insiemi, relazioni, grafi, funzioni, cardinalità del discreto e del continuo
• Logica e tecniche di dimostrazione
• Induzione, aritmetica, combinatorica

Sets, relations, graphs, functions, cardinality, numerable and continuous. Logics, proof techniques. Induction, arithmetic, combinatoric

Per favorire l'apprendimento, i concetti saranno presentati in modo ordinato, incrementale, facilmente leggibile seppure rigoroso e non ambiguo. La teoria sarà accompagnata da molti esempi e esercizi, anche sfruttando, quando possibile, piccoli casi di studio di uso comune (es. query booleane su motori di ricerca).
Per monitorare il livello di raggiungimento degli obiettivi di apprendimento durante lo svolgimento delle lezioni , oltre all'uso delle verifiche intermedie, si cercherà di coinvolgere attivamente gli studenti nella risoluzione degli esercizi che accompagnano la teoria.

Insiemi, prodotto cartesiano, insieme potenza, funzioni. Connettivi booleani, tavole di verità, quantificatori. Numeri naturali, induzione, calcolo combinatorio e coefficienti binomiali, ricursione. Divisibilità, numeri primi, massimo comun divisore e teorema di Bezout, rappresentazione di un numero in una data base. Congruenze, piccolo teorema di Fermat. Cardinalità, insiemi numerabili, cardinalità dei numeri reali, principio dei cassetti, formula di inclusione-esclusione. Operazioni, relazioni, relazioni d'ordine, relazioni di equivalenza, grafi, alberi. Formalizzazione, Equivalenza logica. Dimostrazioni formali, Controesempi.

Peter J. Eccles, An introduction to mathematical reasoning, Cambridge University Press.
Kenneth H. Rosen, Discrete mathematics and its applications, Mc Graw-Hill.

 

Scritto e orale