Analisi matematica R

Carlo Carminati  

La matematica di base , in particolare : equazioni e disequazioni di I e II grado , valore assoluto, potenze , radici , funzioni esponenziali , logaritmiche e trigonometriche.

Fornire i primi strumenti di analisi matematica sia come tecniche di calcolo che come ragionamento logico-deduttivo.

Dopo aver introdotto il sistema dei numeri reali e il concetto di funzione di una variabile reale, sono esposte le idee fondamentali del calcolo differenziale e di quello integrale . Al punto di vista continuo è affiancato quello discreto ( successioni , serie ) .

We fist introduce the system of real numbers and give a miminal background on analytic geometry in the plane by using also complex numbers; next we describe the fundamental ideas of calculus, from the discrete point of view (sequences and series) as well as from the continuous one (differential and integral calculus, basic notions about differential equations).

Il corso ( diviso in due semestri ) prevede settimanalmente 3 ore di attività didattica frontale , 1 ora di ricevimento studenti in aula , almeno 2 ore di ricevimento individuale. Nel primo semestre sono previste 2 ore settimanali per lo svolgimento di un corso di matematica di base
Il corso è strutturato in moduli posti in sequenza logica , ciascuno svolto dal punto di vista teorico e pratico . Ove possibile , il punto di partenza è dato da un problema concreto .
Le lezioni sollecitano la partecipazione attiva degli studenti .
Il registro delle lezioni ed altro materiale utile al corso puo' essere scaricato dal sito del docente" http://www.dm.unipi.it/~carminat/2006
Lo svolgimento del corso è coordinato con i docenti dei corsi paralleli.
Il livello di raggiungimento degli obiettivi è valutato con verifiche intermedie.

Numeri reali e numeri complessi. Prime definizioni legate al concetto di funzione di una variabile reale. Le principali funzioni elementari .Limiti di funzioni . Infinitesimi ed infiniti. Funzioni continue e funzioni derivabili : principali proprietà. Studio di una funzione e del suo grafico. Formula di Taylor. Ricerca dei punti di massimo e di minimo. Convessità. L’integrale e le sue proprietà ; teorema fondamentale del calcolo integrale . Metodi di integrazione. Integrali impropri . Cenni su equazioni differenziali lineari del I e II ordine e a variabili separabili. Successioni e serie numeriche . 1. Numeri reali Definizione assiomatica del corpo R dei numeri reali: assiomi algebrici, di ordinamento e di continuità. Sottoinsiemi di R limitati superiormente o inferiormente; massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore. Rappresentazione dei numeri reali sulla retta cartesiana ovvero retta reale. Intervalli di numeri reali. I numeri decimali ; loro densità sulla retta reale ovvero approssimazione decimale dei numeri reali; i numeri reali come allineamenti decimali propri ovvero rappresentazione decimale dei numeri reali. Principio di induzione. Formula del binomio di Newton. Intorni di un punto nella retta reale; punti interni, esterni, di frontiera e isolati per un sottoinsieme di R. La retta reale estesa. Intorni di un punto nella retta reale estesa; punti di accumulazione per un sottoinsieme di R . 2. Numeri complessi Definizione algebrica del corpo C dei numeri complessi come coppie ordinate di numeri reali con le operazioni di somma e di prodotto. Parte reale , parte immaginaria e coniugato di un numero complesso. Rappresentazione nel piano cartesiano. Il sottocorpo dei numeri reali. Unità immaginaria. Rappresentazioni standard , trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Interpretazione geometrica delle operazioni algebriche. Radici n-esime di un numero complesso. Radici di polinomi in campo complesso e loro molteplicità. Teorema fondamentale dell'algebra. Nei polinomi a coefficienti reali le eventuali radici non reali compaiono a coppie coniugate. Scomposizione di un polinomio in campo reale e in campo complesso. Funzioni complesse di una variabile reale; l'esponenziale complesso. 3. Funzioni reali di una variabile reale Definizione di funzione reale di una variabile reale ; dominio, campo di esistenza, immagine, grafico. Primi esempi di funzioni: costanti, lineari, esprimenti proporzionalità inversa, valore assoluto, segno, polinomi, razionali, trigonometriche , esponenziali. Operazioni algebriche tra funzioni , in particolare la composizione di funzioni . Funzioni monotòne e funzioni iniettive. Invertibilità di una funzione iniettiva; la funzione inversa; legame tra il grafico di una funzione invertibile e quello della sua inversa. Le funzioni logaritmiche , le potenze con esponente reale , le funzioni trigonometriche inverse. Le funzioni elementari. Funzioni limitate; estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo di una funzione. Punti di massimo e di minimo assoluti o locali. Funzioni pari, dispari, periodiche. Restrizioni e prolungamenti. Le successioni di numeri reali come caso particolare del concetto di funzione ; definizioni collegate. 4. Limiti di una funzione Definizione generale di limite per una funzione. Limiti reali e funzioni continue in un punto. Limiti infiniti e asintoti verticali. Limiti reali all’infinito e asintoti orizzontali. Limiti infiniti all’infinito e asintoti obliqui. Limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto. Principali proprietà dei limiti : unicità , permanenza del segno , passaggio al limite in una disuguaglianza , confronto , restrizioni (in particolare , limite destro e sinistro) , funzioni monotòne , cambiamento di variabile , operazioni con limiti reali o infiniti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Confronto tra infinitesimi o infiniti simultanei , parti principali, principi di sostituzione e loro uso nello studio delle forme<

Prova scritta e successiva prova orale . Lo svolgimento positivo di  compiti scritti parziali ( 2 nel primo semestre e 2 nel secondo ) può sostituire la prova scritta.