Analisi matematica R

Il corso ( diviso in due semestri ) prevede settimanalmente 4 ore di attivit? didattica frontale , 2 ora di ricevimento studenti in aula. Il corso ? strutturato in moduli posti in sequenza logica , ciascuno svolto dal punto di vista teorico e pratico . Ove possibile , il punto di partenza ? dato da un problema concreto .
Le lezioni sollecitano la partecipazione attiva degli studenti .
Il registro delle lezioni ed altro materiale utile al corso puo' essere scaricato dal sito del docente http://www.dm.unipi.it/~georgiev
Lo svolgimento del corso ? coordinato con i docenti dei corsi paralleli.
Il livello di raggiungimento degli obiettivi ? valutato con verifiche intermedie.

1)     Numeri naturali, principio di induzione.

2)     Numeri reali  (proprieta’ di addizione, moltiplicazione, densita’, Archimede, completezza) . Radicali, potenze (binomio di Newton), logaritmi . Disuguaglianze.

3)     Numeri complessi. Rappresentazione nel piano cartesiano. Rapresentazione trigonometrica ed esponenziale. Radici n-esime di un numero complesso.

4)     Prime definizioni legate al concetto di funzione di una variabile reale (dominio, codominio, immagine, grafico). Funzioni composte. Funzioni monotone e funzioni iniettive. Invertinbilita’ di una funzione iniettiva. La funzione inversa. Le funzioni logaritmiche, esponenziali, le funzioni trigonometriche e le funzioni trigonemetriche inverse. Disuduaglianze. Massimo  e minimo di una funzione (assoluti e locali). Funzioni pari, dispari, periodiche. Successioni.

5)     Limiti di funzioni . Proprieta’ (permanenza del segno, confronto, limite della funzione composta). Limite destro e sinistro. Limiti delle funzioni elementari. Successioni.  Limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti. Simboli di Landau. Asintoti. Limiti di una successione monotona. Numero di Nepero. Sottosuccessioni, teorma di Bolzano-Weierstrass.

6)     Funzioni continue. Punti di discontinuita’. Teorema dei zeri. Continuita’ delle funzione inverse. Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformamente continue, teorema di Heine-Cantor.

7)     Calcolo differenziale. Retta tangente, derivata.Le funzioni derivabili sono continue.Regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari.Teorema di Roll, Lagrange, Cauchy. Monotonia e segno della derivata. Massimo e minimo e studio del grafico di una funzione. Il teorema de l’Hopital. Convessita’ e legami con la derivata seconda. Formula di Taylor e approssimazione numerica.

8)     Calcolo integrale. Partizioni di un intervalo chiuso e limitato. Integrale di Riemann. Interpretazione geometrica. Esempi di funzioni integrabili. Proprieta’ dell’integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale.  Integrazioni per parti e per sostituzione.

9)     Integrabilita’ in senso improprio.

10)  Equazioni ordianrie. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine. Equazioni a variabili separate.Il problema di Cauchy.

11)  Serie numeriche. Serie geometrica. Condizione necessaria per  la convergenza di una serie. Criteri di convergenza.

• M.Sassetti:Calcolo: parti prima e seconda, ed. Il Borghetto, Pisa, II ed. Settebre 2005

• M.Bertsch,R.Dal Passo, Elementi di Analisi matematica, Aracne Editrice, 2001.