corso

Analisi Matematica A

Codice:	005AA	Crediti:	9	Semestre:	1	Sigla:	AM

Settore disciplinare:		MAT/05 - Analisi Matematica

Docente

Carlo Romano Grisanti

Tel. 0502213873

Prerequisiti

Matematica di base: equazioni e disequazioni lineari e quadratiche, andamento delle funzioni elementari, proprietà della funzione esponenziale e del logaritmo, trigonometria elementare, proprietà di base dei polinomi.

Obiettivi di apprendimento

Raggiungere la capacità di analizzare l'andamento delle funzioni di una variabile reale tramite gli strumenti classici dell'analisi matematica. Saper calcolare gli integrali delle funzioni base di una variabile. Saper risolvere alcune classi di equazioni differenziali ordinarie. Sviluppare i metodi logici necessari a dimostrare un enunciato.

Conoscenze.

limiti di funzioni di variabile reale
continuità
derivabilità
infinitesimi e infiniti
sviluppo di Taylor
convessità
successioni
teoria dell'integrazione secondo Riemann
equazioni differenziali ordinarie di tipo particolare

Capacità.

calcolo di limiti di funzioni e successioni
calcolo di derivate
studio qualitativo delle funzioni
calcolo di integrali
soluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie

Descrizione

Gli studenti verranno portati a familiarizzare con la struttura logica dell'analisi matematica attraverso definizioni, enunciati e dimostrazioni. Verranno resi rigorosi alcuni concetti appresi alle scuole superiori mostrando i limiti di applicabilità dei teoremi attraverso esempi e controesempi.

English Description

This course is devoted to the study of calculus (continuity, derivation and integration, sequences and series) from the point of view of its applications, but with full mathematical rigour. Particular emphasis is given to important examples.

Indicazioni metodologiche

Il corso, di 9 crediti formativi, ha la durata di 72 ore. Tali ore saranno suddivise in modo non rigido tra lezioni e esercitazioni, inserendo al momento opportuno esempi ed esercizi per rendere più chiaro il contenuto della lezione teorica.

Programma

PRELIMINARI. Funzioni iniettive, surgettive, invertibili. Immagine e controimmagine di un sottoinsieme tramite una funzione. Funzioni pari, dispari, periodiche, monotone. Binomio di Newton. Assioma di continuità dei numeri reali. Insiemi limitati inferiormente, limitati superiormente, limitati. Massimo e minimo di un insieme. Maggioranti e minoranti. Estremo inferiore e superiore.
LIMITI. Limite di una successione di numeri reali. Teoremi di unicità del limite, di permanenza del segno, del confronto, dei carabinieri, del limite della somma, del prodotto, del quoziente. Forme indeterminate. Successioni monotone: esistenza del limite. Successioni limitate. Sottosuccessioni. Definizione di limite di una funzione. Teoremi sui limiti di funzione analoghi a quelli per le successioni. Limiti notevoli di funzioni. Cambio di variabile nei limiti. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni.
CALCOLO DIFFERENZIALE IN UNA VARIABILE. Definizione di continuità e teoremi relativi alle operazioni algebriche fra funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Teoremi di esistenza degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi. Immagine di una funzione continua su un intervallo. Derivata e differenziale e loro interpretazione geometrica. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente, della composizione. Calcolo della derivata di funzioni elementari. Legami tra continuità e derivabilità. Derivata della funzione inversa. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Massimi e minimi locali. Relazione tra il segno della derivata e la monotonia. Teorema di de l'Hôpital. Funzioni convesse. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange e applicazioni al calcolo di errori nell’approssimazione di funzioni. Studio di funzioni.
CALCOLO INTEGRALE IN UNA VARIABILE. Integrale di Riemann per funzioni limitate su intervalli limitati. Significato geometrico. Integrabilità delle funzioni continue. Proprietà dell'integrale. Funzione integrale. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione continua e loro utilizzo per il calcolo di integrali definiti. Primitive delle funzioni elementari. Formule di integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Definizione e generalità. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari a coefficienti costanti omogenee. Equazioni non omogenee con termine noto di tipo polinomio per esponenziale o funzione trigonometrica. Metodo della variazione delle costanti.

Ore lezione:

Ore esercitazione:

Bibliografia

ACERBI E., BUTTAZZO G.: Analisi matematica ABC. 1-Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna (2003)
BUTTAZZO G., GAMBINI G., SANTI E.: Esercizi di Analisi Matematica I, Pitagora Editrice, Bologna (1991).

Modalità di esame

Test, prova scritta e prova orale.