Analisi Matematica I A

Paolo Acquistapace    Tel. 23-209, ab. 050575177

Nessuno

Fornire quel minimo di strumenti di analisi matematica che sono indispensabili per qualunque studente della facoltà di Scienze M. F. N.

Dopo aver introdotto il sistema dei numeri reali, e fornito un minimo di nozioni di geometria analitica anche con l'ausilio dei numeri complessi, si descrivono le idee fondamentali del calcolo, sia sotto l'aspetto del ``discreto'' (successioni e serie), sia del ``continuo'' (calcolo differenziale, calcolo integrale, massimi e minimi in una o più variabili, cenni sulle equazioni differenziali).

We fist introduce the system of real numbers and give a miminal background on analytic geometry by using also complex numbers; next we describe the fundamental ideas of calculus, from the ``discrete'' point of view (sequences and series) as well as from the ``continuous'' one (differential and integral calculus, maxima and minima in one or several variables, basic notions about differential equations).

1. Numeri reali Principio di induzione. Binomio di Newton. I numeri reali. La retta reale. Estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo per un insieme di numeri reali. Assioma di completezza. Rappresentazione decimale. La retta reale estesa. Intorni. Punti interni, esterni, di frontiera, isolati, di accumulazione. 2. Numeri complessi Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Il piano complesso. Operazioni algebriche nelle varie forme e loro interpretazione geometrica. Radici n-esime. Radici di un polinomio in campo complesso e loro mol-teplicità. Teorema fondamentale dell'algebra. Scomposizione di un polinomio in fattori primi in campo reale e in campo complesso. La funzione esponenziale con esponente complesso. 3. Funzioni reali di una variabile reale Definizione di funzione; dominio, campo di esistenza, immagine, grafico. Primi esempi di funzioni: costanti, lineari, esprimenti proporzionalità inversa, valore assoluto, segno, polinomi, razionali, trigonometriche. Operazioni, in partico-lare la composizione. Funzioni monotòne e funzioni iniettive. La funzione inversa. Logaritmi, potenze e funzioni trigo-nometriche inverse. Le funzioni elementari. Funzioni limitate. Estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo di una funzione. Punti di massimo e di minimo assoluti o locali. Funzioni pari, dispari, periodiche. Le successioni come caso particolare di funzione reale; definizioni collegate. 4. Limiti di una funzione Definizione generale di limite per una funzione. Limiti reali e funzioni continue in un punto. Limiti infiniti e asintoti verticali. Limiti reali all'infinito e asintoti orizzontali. Limiti infiniti all'infinito e asintoti obliqui. Limite destro e sini-stro, per eccesso e per difetto. Principali proprietà : unicità , permanenza del segno , passaggio al limite in una disuguaglianza , confronto , restrizioni , funzioni monotòne , cambiamento di variabile , operazioni con limiti. Forme di indeterminazione. Limiti notevoli. Confronto di infinite-simi o infiniti, parti principali, principi di sostituzione e loro uso nello studio delle forme indeterminate. Il limite di una successione come caso particolare della definizione. Limite di successioni monotòne. Il numero di Nepero. Sottosuccessioni . Teorema di Bolzano-Weierstrass. Condizione di Cauchy per la convergenza di una successione (facoltativo) . Massimo e minimo limite di una successione (facoltativo) . 5. Funzioni continue Definizione di continuità in un punto e in un insieme. Punti di discontinuità e loro classificazione. Continuità delle fun-zioni elementari nel loro campo di esistenza. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo : teorema di Weierstrass , degli zeri , dei valori intermedi , monotonia delle funzioni continue invertibili, continuità della funzione inversa. Funzioni uniformemente continue . Teorema di Heine-Cantor. 6. Calcolo differenziale Definizione di derivata. Retta tangente. Le funzioni derivabili sono continue. Esempi di funzioni continue non deriva-bili. Derivate notevoli. Regole di derivazione. Derivate successive. Il teorema di Fermat per la ricerca dei punti di mas-simo e di minimo. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Monotonia e segno della derivata. Il teorema dell'Hopital. Fun-zioni convesse e concave; punti di flesso; legami con la derivata seconda. Approssimazione numerica degli zeri di una funzione: metodo delle bi-sezioni, delle corde e delle tangenti. La formula di Taylor : applicazioni allo studio locale di una funzione , al calcolo di limiti in forma indeterminata , all'approssimazione numerica. Studio di una funzione. Studio grafico di un'equazione o disequazione. 7. Primitive Definizione di primitiva. In un intervallo le primitive di una stessa funzione differiscono per una costante. L'integrale indefinito. Integrazione per parti e per cambiamento di variabile. Integrazione delle funzioni razionali. Cambiamenti di variabile razionalizzanti.

P. Acquistapace, Lezioni di Analisi I, SEU, Pisa. M. Giaquinta, G. Modica, Analisi matematica, vol.1 (funzioni di una variabile) e vol.2 (approssimazione e processi discreti), Pitagora Editrice, Bologna. E. Giusti, Analisi matematica 1, Boringhieri, Torino. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di matematica, vol.1, parte prima e parte seconda, Liguori Editore, Napoli.,

Prova scritta e prova orale. Tre compitini durante il corso che possono esentare dallo scritto finale.