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Codice: | 4I005 | Crediti: | 12 | Semestre: | 1 | Sigla: | AM1 |
2. Numeri complessi
Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Il piano complesso. Operazioni algebriche nelle varie forme e loro interpretazione geometrica. Radici n-esime. Radici di un polinomio in campo complesso e loro mol-teplicità. Teorema fondamentale dell'algebra. Scomposizione di un polinomio in fattori primi in campo reale e in campo complesso. La funzione esponenziale con esponente complesso.
3. Funzioni reali di una variabile reale
Definizione di funzione; dominio, campo di esistenza, immagine, grafico. Primi esempi di funzioni: costanti, lineari, esprimenti proporzionalità inversa, valore assoluto, segno, polinomi, razionali, trigonometriche. Operazioni, in partico-lare la composizione. Funzioni monotòne e funzioni iniettive. La funzione inversa. Logaritmi, potenze e funzioni trigo-nometriche inverse. Le funzioni elementari. Funzioni limitate. Estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo di una funzione. Punti di massimo e di minimo assoluti o locali. Funzioni pari, dispari, periodiche. Le successioni come caso particolare di funzione reale; definizioni collegate.
4. Limiti di una funzione
Definizione generale di limite per una funzione. Limiti reali e funzioni continue in un punto. Limiti infiniti e asintoti verticali. Limiti reali all'infinito e asintoti orizzontali. Limiti infiniti all'infinito e asintoti obliqui. Limite destro e sini-stro, per eccesso e per difetto. Principali proprietà : unicità , permanenza del segno , passaggio al limite in una disuguaglianza , confronto , restrizioni , funzioni monotòne , cambiamento di variabile , operazioni con limiti. Forme di indeterminazione. Limiti notevoli. Confronto di infinite-simi o infiniti, parti principali, principi di sostituzione e loro uso nello studio delle forme indeterminate. Il limite di una successione come caso particolare della definizione. Limite di successioni monotòne. Il numero di Nepero. Sottosuccessioni . Teorema di Bolzano-Weierstrass. Condizione di Cauchy per la convergenza di una successione (facoltativo) . Massimo e minimo limite di una successione (facoltativo) .
5. Funzioni continue
Definizione di continuità in un punto e in un insieme. Punti di discontinuità e loro classificazione. Continuità delle fun-zioni elementari nel loro campo di esistenza. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo : teorema di Weierstrass , degli zeri , dei valori intermedi , monotonia delle funzioni continue invertibili, continuità della funzione inversa. Funzioni uniformemente continue . Teorema di Heine-Cantor.
6. Calcolo differenziale
Definizione di derivata. Retta tangente. Le funzioni derivabili sono continue. Esempi di funzioni continue non deriva-bili. Derivate notevoli. Regole di derivazione. Derivate successive. Il teorema di Fermat per la ricerca dei punti di mas-simo e di minimo. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Monotonia e segno della derivata. Il teorema dell'Hopital. Fun-zioni convesse e concave; punti di flesso; legami con la derivata seconda. Approssimazione numerica degli zeri di una funzione: metodo delle bi-sezioni, delle corde e delle tangenti. La formula di Taylor : applicazioni allo studio locale di una funzione , al calcolo di limiti in forma indeterminata , all'approssimazione numerica. Studio di una funzione. Studio grafico di un'equazione o disequazione.
7. Primitive
Definizione di primitiva. In un intervallo le primitive di una stessa funzione differiscono per
Ore lezione: | 50 | Ore esercitazione: | 30 |