Analisi Matematica II A

M.K.V. Murthy  

Richiami di nozioni fondamentali per spazi metrici: Intorni, aperti e chiusi, applicazioni continue fra spazi metrici, convergenza delle successioni, successioni di Cauchy e spazi metrici completi.

FUNZIONI DI PIU VARIABILI REALI - Spazi metrici e spazi normati - Spazi metrici, successioni, convergenza e completezza; spazi normati, spazi di Banach e di Hilbert. Richiami di topologia in spazio Euclideo n -dimensionale, limiti e continuità insiemi connessi, insiemi compatti funzioni continue su insiemi aperti e conessi, funzioni continue su compatti.

Calcolo differenziale - Derivate parziali e derivata direzionale, funzioni differenziabili e loro proprietà gradiente; teorema di differenziale totale; derivate successive ed il teorema di Schwarz; formula di Taylor; forme quadratiche definite, semidefinite e indefinite; punti stazionari, massimi e minimi relativi e assoluti, e punti di sella; condizioni necessarie e condizioni sufficiente per un massimo o minimo relativo o di sella.

Funzioni definite implicitamente, il teorema del Dini nel piano e in spazio tre dimensionale; funzioni a valori vettoriali, Jacobiano ed il teorema delle funzioni implicite (senza dimostrazione); funzioni localmente invertibili e diffeomorfismi fra aperti.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE - Generalità sulle equazioni differenziali; integrale generale; il problema di Cauchy, funzioni lipschitziane esempi e condizioni sufficienti ; teorema di Cauchy - Lipschitz sull'esistenza e l'unicità della soluzione locale, un cenno della dimostrazione, l'equazione integrale di tipo Volterra equivalente; teorema di Peano per l'esistenza locale (senza dimostrazione); risoluzione esplicità di alcuni equazioni del primo ordine; equazione del tipo Bernoulli; equazioni a variabili separabili.

Problema di Cauchy per un equazione del ordine m esistenza e l'unicità.

Equazioni differenziali lineari a coefficienti continue - Sistemi fondamentali di soluzioni e Wronskiano e sue proprietà.

Studio di sistemi di equazioni lineare del primo ordine a coefficienti continue, sistema fondamentale di base allo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo

Equazioni omogenee a coefficienti costanti, polinomio caratteristico e costruzione di un sistema fondamentale; soluzioni particolari delle equazioni non omogenee e metodo della variazione delle costanti arbitrarie; equazioni con termini noti di tipo particolare; equazione di Eulero.

S. Campanato, Lezioni di Analisi Matematica, Parte 2, Pelligrini Pisa
J. Cecconi e G. Stampacchia, Analisi Matematica II, Liguori Editori
J. Cecconi, L. Piccinini e G. Stampacchia, Esercizi e problemi di Analisi Matematica 2, Liguori Editori
R. Courant and F. John, Introduction to Calculus and Analysis, Vols. I , II John Wiley and Co.
W. Fleming, Functions of several variables
N. Fusco, P. Marcellini e C. Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editori
E.Giusti, Analisi Matematica Vol II, Boringhieri
E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Boringhieri
W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw Hill

Scritto e orale