Matematica Discreta D

Elisabetta Fortuna    Tel. st. 23226, ab. 050501329

Il corso si propone di fornire un'introduzione ai temi di algebra astratta tramite gli esempi dell'aritmetica degli interi e dei polinomi, e dell'algebra lineare, esponendo anche alcune semplici applicazioni di interesse informatico.

The course gives an introduction to abstract algebra through the concrete examples of integer arithmetic, polynomials, finite fields and linear algebra; a few simple applications relevant for computer science are exposed.

1. Preliminari, numeri interi.
   Insiemi e applicazioni. Esempi di gruppi, anelli e campi. L'anello degli interi: principio del buon ordinamento, principio di induzione. Teorema di divisione, MCD e mcm, algoritmo di Euclide, identità di Bezout. Numeri primi, teorema di fattorizzazione unica. Congruenze, risoluzione di una congruenza lineare. L'anello Zn.

2. Elementi di algebra astratta.
   Relazioni di equivalenza, relazioni di equivalenza e applicazioni. Operazioni binarie, insiemi con operazioni, omomorfismi, isomorfismi. Relazione compatibile con una operazione. Gruppi e sottogruppi, ordine di un elemento, gruppi ciclici. Omomorfismi di gruppo. Anelli, divisori di zero. Prodotti diretti, sistemi di congruenze, teorema cinese dei resti. La funzione Phi di Eulero. Teorema di Fermat e di Eulero.

3. I polinomi.
   Polinomi, teorema di divisione; radici e teorema di Ruffini; teorema di fattorialità. Congruenze fra polinomi.

4. Sistemi e matrici.
   Operazioni sulle matrici, operazioni elementari per riga e per colonna, matrici elementari. Sistemi lineari, algoritmo di Gauss. Matrici invertibili e calcolo della matrice inversa.

5. Algebra lineare.
   Spazi vettoriali, sottospazi. Basi e cambiamenti di basi, coordinate. Dimensione di uno spazio vettoriale. Rango, teorema di Rouchè-Capelli. Applicazioni lineari e matrici associate, nucleo e immagine e formula delle dimensioni. Dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.

6. Determinante e diagonalizzazione.
   Determinante e sue proprietà, teorema di Binet. Applicazioni e matrici diagonalizzabili, autovalori e autovettori, teorema di diagonalizzazione.

1. L. Childs, ``Algebra, un'introduzione concreta'', ETS, Pisa
2. M. Abate, ``Algebra lineare e geometria'', McGraw-Hill

Scritto e orale