Analisi Matematica I B

Mauro Sassetti      Tel. 050-2213216

La matematica di base , in particolare equazioni e disequazioni di I e II grado, con radici, con esponenziali e logaritmi, con funzioni trigonometriche.

Fornire i primi strumenti di analisi matematica, cercando un equilibrio tra l'aspetto applicativo e quello formale, tra le tecniche di calcolo e il ragionamento logico-deduttivo.

Dopo aver introdotto il sistema dei numeri reali e il concetto di funzione di una variabile reale, sono presentate le idee fondamentali del calcolo differenziale e di quello integrale . All'interno di questa esposizione sono aperte delle parentesi per presentare i numeri complessi e i primi risultati sulle equazioni differenziali.=20 Infine sono presentate le successioni e le serie di numeri e di funzioni.

After introducing the field of real numbers and the functions of one real variable , the principal results of classical differential and integral calculus are shown , also paying attention to complex numbers and to elementary differential equations. Lastly , sequences and series both of numbers and functions are introduced.

1. Numeri reali
Principio di induzione. Binomio di Newton. I numeri reali. La retta reale. Estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo per un insieme di numeri reali. Assioma di completezza. Rappresentazione decimale. La retta reale estesa. Intorni. Punti interni, esterni, di frontiera, isolati, di accumulazione.

2. Numeri complessi
Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Il piano complesso. Operazioni algebriche nelle varie forme e loro interpretazione geometrica. Radici n-esime. Radici di un polinomio in campo complesso e loro mol-teplicità. Teorema fondamentale dell'algebra. Scomposizione di un polinomio in fattori primi in campo reale e in campo complesso. La funzione esponenziale con esponente complesso.

3. Funzioni reali di una variabile reale
Definizione di funzione; dominio, campo di esistenza, immagine, grafico. Primi esempi di funzioni: costanti, lineari, esprimenti proporzionalità inversa, valore assoluto, segno, polinomi, razionali, trigonometriche. Operazioni, in partico-lare la composizione. Funzioni monotòne e funzioni iniettive. La funzione inversa. Logaritmi, potenze e funzioni trigo-nometriche inverse. Le funzioni elementari. Funzioni limitate. Estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo di una funzione. Punti di massimo e di minimo assoluti o locali. Funzioni pari, dispari, periodiche. Le successioni come caso particolare di funzione reale; definizioni collegate.

4. Limiti di una funzione
Definizione generale di limite per una funzione. Limiti reali e funzioni continue in un punto. Limiti infiniti e asintoti verticali. Limiti reali all'infinito e asintoti orizzontali. Limiti infiniti all'infinito e asintoti obliqui. Limite destro e sini-stro, per eccesso e per difetto. Principali proprietà : unicità , permanenza del segno , passaggio al limite in una disuguaglianza , confronto , restrizioni , funzioni monotòne , cambiamento di variabile , operazioni con limiti. Forme di indeterminazione. Limiti notevoli. Confronto di infinite-simi o infiniti, parti principali, principi di sostituzione e loro uso nello studio delle forme indeterminate. Il limite di una successione come caso particolare della definizione. Limite di successioni monotòne. Il numero di Nepero. Sottosuccessioni . Teorema di Bolzano-Weierstrass.

5. Funzioni continue
Definizione di continuità in un punto e in un insieme. Punti di discontinuità e loro classificazione. Continuità delle fun-zioni elementari nel loro campo di esistenza. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo : teorema di Weierstrass , degli zeri , dei valori intermedi , monotonia delle funzioni continue invertibili, continuità della funzione inversa. Funzioni uniformemente continue . Teorema di Heine-Cantor. Applicazione del teorema degli zeri all'approssimazione numerica delle soluzioni di una equazione.

6. Calcolo differenziale
Definizione di derivata. Retta tangente. Le funzioni derivabili sono continue. Esempi di funzioni continue non deriva-bili. Derivate notevoli. Regole di derivazione. Derivate successive. Il teorema di Fermat per la ricerca dei punti di mas-simo e di minimo. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Monotonia e segno della derivata. Il teorema dell'Hopital. Fun-zioni convesse e concave; punti di flesso; legami con la derivata seconda. La formula di Taylor : applicazioni allo studio locale di una funzione , al calcolo di limiti in forma indeterminata , all'approssimazione numerica. Studio di una funzione. Studio grafico di un'equazione o disequazione.

7. Primitive
Definizione di primitiva. In un intervallo le primitive di una stessa funzione differiscono per una costante. L'integrale indefinito. Integrazione per parti e per cambiamento di variabile. Integrazione delle funzioni razionali. Cambiamenti di variabile razionalizzanti.

M. Sassetti - Precorso di Matematica - Ed. Il Borghetto , Pisa
M. Sassetti - Funzioni reali di una variabile reale . Parte I e II - Ed. Il Borghetto , Pisa
M. Sassetti - Funzioni reali di una variabile reale . Esercizi e complementi di teoria - Ed. Il Borghetto , Pisa

Prova scritta e prova orale . Due compiti scritti parziali possono esentare dallo scritto finale.