Analisi Numerica B

(Corso di Laurea in Informatica (quinquennale))

Codice:

4I014

Crediti:

Semestre:

Sigla:

Docente

Roberto Bevilacqua

Tel. 0502212799

Prerequisiti

Analisi Matematica I, Matematica Discreta, Programmazione I

Obiettivi di apprendimento

L'acquisizione dei principali metodi numerici per la risoluzione di problemi di matematica e di matematica applicata

Descrizione

Problemi del mondo reale, modelli matematici, metodi iterativi per equazioni non lineari, introduzione all'approssimazione di funzioni, formule di quadratura, elementi di albegra lineare, norme di vettori e di matrici, metodi diretti e iterativi per la risoluzione di sistemi lineari, metodi per il calcolo di autovalori

English Description

The course presents the most important methods for solving numerically mathematical problems, emphasizing computational aspects like conditioning, propagation of errors and complexity. The program includes iterative methods for non-linear equations, complements of linear algebra and matrix theory, direct and iterative methods for linear systems, methods for eigenvalues, and a short outline on topics of approximation (interpolation and quadrature)

Programma

Condizionamento di un problema. Stabilità di un algoritmo. Rappresentazione dei numeri reali. Numeri di macchina. Errori di rappresentazione e loro limitazione. Precisione di macchina. Errore nelle operazioni aritmetiche. Analisi diretta dell'errore nel calcolo di una funzione. Errore inerente ed errore algoritmico. Uso dei grafi per l'analisi diretta degli errori di arrotondamento. Errore analitico. Considerazioni sulla complessità degli algoritmi .
Metodi iterativi per equazioni non lineari: metodo di bisezione. Metodi di iterazione funzionale: condizioni per la convergenza, criteri di arresto. Ordine di convergenza. Metodi delle corde, delle tangenti e delle secanti. Condizioni sufficienti per la convergenza di tali metodi, loro ordine di convergenza. Propagazione degli errori di arrotondamento.
Cenni sull'approssimazione. Polinomi di interpolazione: esistenza e unicità, formula di Lagrange, resto del polinomio di interpolazione. Studio dell'errore. Integrazione numerica: formule di Newton-Cotes e formule di Newton-Cotes generalizzate. Studio dell'errore.
Elementi di algebra lineare: matrici normali, unitarie, hermitiane. Basi ortonormali, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici definite positive. Richiami sulle proprietà delle soluzioni dei sistemi lineari. Matrici a blocchi. Matrici riducibili e grafi orientati, matrici a predominanza diagonale. Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Teorema di Cayley-Hamilton, polinomio minimo. Trasformazioni per similitudine, forma normale di Jordan. Trasformazioni unitarie, forma normale di Schur. Proprietà di matrici definite positive. Teoremi di Gerschgorin.
Norme di vettori e di matrici: definizioni, continuità, equivalenza delle norme. Norme indotte, norme 1, 2, ƒ, e norma di Frobenius.
Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: analisi di perturbazione, condizionamento, fattorizzazioni LU, LLH e QR. Matrici elementari, matrici elementari di Gauss e di Householder. Metodo di Gauss, metodo di Householder, metodo di Cholesky. Complessità e stabilità dei metodi diretti.
Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari: matrici convergenti, condizioni per la convergenza dei metodi iterativi. Criteri di arresto. Tasso asintotico di convergenza. Metodi iterativi particolari: metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Predominanza diagonale e convergenza. Gauss-Seidel e sistemi con matrice definita positiva.
Metodi per il calcolo di autovalori: metodo delle potenze, metodo delle potenze normalizzato (norma ƒ,), metodo delle potenze inverse.

Ore lezione:

Ore esercitazione:

Bibliografia

I contenuti essenziali del corso sono esposti in: "Introduzione alla matematica computazionale" di R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, edito da Zanichelli (1987); "Metodi numerici per l'algebra lineare" di D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, edito da Zanichelli (1988). Testi complementari: 1. R Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi Numerici, Zanichelli, Bologna, 1992 2. P.J.Davis, Interpolation and Approximation, Blaisdell, New York, 1963 3. P.J.Davis, P.Rabinowitz, Numerical Integration, Academic Press, New York, 1975 4. C. Forsythe, M.A.Malcolm, C.B.Moler, Computer Methods for Mathematical Computation, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1977 5. G.H.Golub, C.F.Van Loan, Matrix Computation, North Uxford Academic, Oxford, 1983 6. E. Isaacson, H.B.Keller, Analysis of Numerical Methods, John Wiley and Sons, New York, 1966 7. J.Rice, Numerical Methods, Software and Analysis, McGraw Hill, New York, 1983 8. J.Stoer, R. Bulirsch, Inroduzione all'analisi numerica, vol. 1 e 2, Zanichelli, Bologna, 1975 9. G.Strang, Linear Algebra and Its Applications, Academic Press, New York, 197610. J.H.Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press, Oxford, 1965

Modalità di esame

Scritto e orale