Analisi Matematica I A

1. Numeri reali

Principio di induzione. Binomio di Newton. I numeri reali. La retta reale. Estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo per un insieme di numeri reali. Assioma di completezza. Rappresentazione decimale. La retta reale estesa. Intorni. Punti interni, esterni, di frontiera, isolati, di accumulazione. 

2. Numeri complessi

Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Il piano complesso. Operazioni algebriche nelle varie forme e loro interpretazione geometrica. Radici n-esime. Radici di un polinomio in campo complesso e loro mol-teplicit�à. Teorema fondamentale dell'algebra. Scomposizione di un polinomio in fattori primi in campo reale e in campo complesso. La funzione esponenziale con esponente complesso.

3. Funzioni reali di una variabile reale

Definizione di funzione; dominio, campo di esistenza, immagine, grafico. Primi esempi di funzioni: costanti, lineari, esprimenti proporzionalit�à inversa, valore assoluto, segno, polinomi, razionali, trigonometriche. Operazioni, in partico-lare la composizione. Funzioni monot�òne e funzioni iniettive. La funzione inversa. Logaritmi, potenze e funzioni trigo-nometriche inverse. Le funzioni elementari. Funzioni limitate. Estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo di una funzione. Punti di massimo e di minimo assoluti o locali. Funzioni pari, dispari, periodiche. Le successioni come caso particolare di funzione reale; definizioni collegate.

4. Limiti di una funzione

Definizione generale di limite per una funzione. Limiti reali e funzioni continue in un punto. Limiti infiniti e asintoti verticali. Limiti reali all'infinito e asintoti orizzontali. Limiti infiniti all'infinito e asintoti obliqui. Limite destro e sini-stro, per eccesso e per difetto. Principali propriet�à : unicit�à , permanenza del segno , passaggio al limite in una disuguaglianza , confronto , restrizioni , funzioni monot�òne , cambiamento di variabile , operazioni con limiti. Forme di indeterminazione. Limiti notevoli. Confronto di infinite-simi o infiniti, parti principali, principi di sostituzione e loro uso nello studio delle forme indeterminate. Il limite di una successione come caso particolare della definizione. Limite di successioni monot�òne. Il numero di Nepero. Sottosuccessioni . Teorema di Bolzano-Weierstrass. Condizione di Cauchy per la convergenza di una successione (facoltativo) . Massimo e minimo limite di una successione (facoltativo) . 

5. Funzioni continue

Definizione di continuit�à in un punto e in un insieme. Punti di discontinuit�à e loro classificazione. Continuit�à delle fun-zioni elementari nel loro campo di esistenza. Propriet�à delle funzioni continue in un intervallo : teorema di Weierstrass , degli zeri , dei valori intermedi , monotonia delle funzioni continue invertibili, continuit�à della funzione inversa.  Funzioni uniformemente continue . Teorema di Heine-Cantor.


6. Calcolo differenziale

Definizione di derivata. Retta tangente. Le funzioni derivabili sono continue. Esempi di funzioni continue non deriva-bili. Derivate notevoli. Regole di derivazione. Derivate successive. Il teorema di Fermat per la ricerca dei punti di mas-simo e di minimo. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Monotonia e segno della derivata. Il teorema dell'Hopital. Fun-zioni convesse e concave; punti di flesso; legami con la derivata seconda. Approssimazione numerica degli zeri di una funzione: metodo delle bi-sezioni, delle corde e delle tangenti. La formula di Taylor : applicazioni allo studio locale di una funzione , al calcolo di limiti in forma indeterminata ,  all'approssimazione numerica. Studio di una funzione. Studio grafico di un'equazione o disequazione. 

7. Primitive 

Definizione di primitiva. In un intervallo le primitive di una stessa funzione differiscono per una costante. L'integrale indefinito. Integrazione per parti e per cambiamento di variabile. Integrazione delle funzioni razionali. Cambiamenti di variabile<