Matematica computazionale

1. Introduzione .Diversi modelli di calcolo.Condizionamento di un problema. Stabilita' di un algoritmo.
2. Elementi di algebra lineare: matrici normali, unitarie, hermitiane. Basi ortonormali.. Matrici definite positive. Richiami sulle proprietà delle soluzioni dei sistemi lineari. Matrici a blocchi. Matrici riducibili e grafi orientati, matrici a predominanza diagonale. Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico.Teoremi di Gerschgorin .Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Teorema di Cayley-Hamilton, polinomio minimo. Trasformazioni per similitudine, forma normale di Jordan. Trasformazioni unitarie, forma normale di Schur. Proprietˆ di matrici definite positive. Algoritmo di Csanky.
3. Norme di vettori e di matrici: definizioni, continuità, equivalenza delle norme. Norme indotte, norme 1, 2, °, e norma di Frobenius.
4. Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: analisi di perturbazione, condizionamento, fattorizzazioni LU, LLH e QR. Matrici elementari, matrici elementari di Gauss e di Householder. Metodo di Gauss, metodo di Householder, metodo di Cholesky. Complessità e stabilità dei metodi diretti.
5. Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari: matrici convergenti, condizioni per la convergenza dei metodi iterativi. Criteri di arresto. Tasso asintotico di convergenza. Metodi iterativi particolari: metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Predominanza diagonale e convergenza. Gauss-Seidel e sistemi con matrice definita positiva.
6. Metodi per il calcolo di autovalori: metodo delle potenze, metodo delle potenze normalizzato, metodo delle potenze inverse. Metodo dei minimi quadrati.

Testi complementari:

• C. Forsythe, M.A.Malcolm, C.B.Moler, Computer Methods for Mathematical Computation, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1977
• G.H.Golub, C.F.Van Loan, Matrix Computation, North Uxford Academic, Oxford, 1983
• E. Isaacson, H.B.Keller, Analysis of Numerical Methods, John Wiley and Sons, New York, 1966
• J.Rice, Numerical Methods, Software and Analysis, McGraw Hill, New York, 1983
• J.Stoer, R. Bulirsch, Inroduzione all'analisi numerica, vol. 1 e 2, Zanichelli, Bologna, 1975
• G.Strang, Linear Algebra and Its Applications, Academic Press, New York, 1976
• J.H.Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press, Oxford, 1965